Bestäm största och minsta värde till funktionen

I det förra avsnittet undersökte vi växande och avtagande funktioner  och hur sådana förändringar hänger ihop med derivatan i olika punkter på en kurva.

Nu ska vi titta närmare på ett av de fall som vi hittade i det förra avsnittet - fallet då derivatan är lika med noll och tangenten i en sådan punkt alltså är horisontell (den är parallell med x-axeln). Vi ska även titta närmare på när en funktion antar sitt största eller minsta värde.

Derivatans nollställen

Varför är just sådana punkter där derivatan är lika med noll särskilt intressanta? Jo, om derivatan är noll och tangenten alltså är horisontell med x-axeln, då betyder det att vi på kurvan befinner oss högst uppe på en "topp" (vad vi i fortsättningen kommer att kalla en maximipunkt), längst ner i en "dal" (en minimipunkt) eller på en "terrass" (en terrasspunkt). En terrasspunkt är en punkt som på båda sidor om sig har en växande kurva eller på båda sidor en avtagande kurva.

Ett gemensamt begrepp som används för maximi- och minimipunkter är extrempunkter, eftersom vi i dessa punkter har funktionsvärden som är högre (maximipunkt) alternativt lägre (minimipunkt) än omgivande

•

Det är vanligt att man söker funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$() och extrempunkter som anges som något värde $x=a$= i definitionsmängden.

Exempel 2

Bestäm största eller minsta värdet till funktionen $f\left(x\right)=-x^2+4x+5$()=−²+4+5.

Lösning

Denna funktion har en maximipunkt då det är en negativ $x^2$²-term i funktionsuttrycket.

Vi kan söka symmetrilinjens ekvation för att ta reda på $y$ -värdet i denna maximipunkt och då tar vi första reda på nollställena.

Nollställena ges av pq-formeln.

$-x^2+4x+5=0$−²+4+5=0dividera båda led med $-1$−1

$x^x-5=0$²−4−5=0sätt in värden i PQ-formeln

$x=$=$-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{4}{2}\right)^2-\left(-5\right)}$−−42±√(−42)²−(−5)beräkna

$x=2\pm\sqrt{4+5}$=2±√4+5

$x=2\pm3$=2±3

Vi har nollställen i  $x_1=-1$₁=−1och  $x_2=5$₂=5  så symmetrilinjens ekvation är  $x_s=$=$\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=$−1+52=42=$2$2

Det största värdet ges av $f\left(2\right)=-2^2+4\cdot2+5=9$(2)=−2²+4·2+5=9

Det största värdet är $y=9$=9

Självklart kan du lika gärna använda kunskapen att $x_s=$=$-\frac{p}{2}$−2 där $p$ motsvarar förstagradstermens koefficient i PQ formen eller om andragradsf

•

Bestämma största samt minsta värde för funktionen f(x,y) = x^x+2y^2+2

 

i) RANDPUNKTER Jag bör parametisera dem två delarna av randen, x=0, x^2+y^2=4. 
Jag ska nyttja polära koordinater.

 

ii) STATIONÄRA PUNKTER Vi kalkylerar för vilka punkter (x, y) detta gäller att  Här besitter vi 

Jag önskar nu ta fram dem partiella derivatorna. För för att få fram inre stationära punkter sätter jag dem partiella derivatorna lika tillsammans med noll.

 

iii) PUNKTER DÄR f EJ existerar DERIVERBAR

Mina ämnen i detta skede är: 

Kan man titta detta vilket ett optimeringsproblem över ett kompakt mängd?

Måste man nyttja polära koordinater? Innebär detta att man skriver ifall till formulering med cos och sin?

Viken är skillnaden mellan för att ta fram extrempunkterna till en HALV cirkelskiva mot om detta hade varit en HEL cirkelskiva?

Kan jag ha nytta av detta exempel ifrån KTH inom lösningen från mitt problem? Det handlar om ett HEL cirkelskiva Optimering modell KTH